а) [tex]a_n=(-1)^nc_n,[/tex] где [tex]c_n=\dfrac{1}{n-5}.[/tex] Конечно, надо рассматривать ряд
[tex]\sum\limits_{n=6}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-5},[/tex] а не [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-5},[/tex]
поскольку [tex]a_5[/tex] не существует. Поскольку
[tex]c _6 > c_7 > c_8 > \ldots > c_n > \ldots[/tex] и [tex]\lim\limits_{n\to \infty}c_n=0,[/tex] ряд [tex]\sum\limits_{n=6}^{\infty}(-1)^nc_n[/tex] по признаку Лейбница сходится.
Если (хотя в условии задачи об этом не говорится) исследовать этот ряд на абсолютную и условную сходимость, то сразу можно заметить, что ряд [tex]\sum\limits_{n=6}^{\infty}|a_n|=\sum\limits_{n=6}^{\infty}c_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots[/tex] является гармоническим рядом и поэтому расходится. А поскольку сам ряд сходится, мы делаем вывод, что он сходится условно.
б) [tex]a_n=\cos^3n\cdot {\rm arctg }\dfrac{n+1}{n^3+1}.[/tex] Сразу будем исследовать ряд на абсолютную сходимость:
Поскольку [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n[/tex] сходится как ряд Дирихле (он же обобщенный гармонический ряд) [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}[/tex] с p=2>1, ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n[/tex] сходится по предельному признаку сравнения, а тогда ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n[/tex] сходится по тому же признаку, а тогда ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|[/tex] сходится по признаку сравнения, что означает абсолютную сходимость исходного ряда.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
а) сходится (условно); б) сходится (абсолютно).
Объяснение:
а) [tex]a_n=(-1)^nc_n,[/tex] где [tex]c_n=\dfrac{1}{n-5}.[/tex] Конечно, надо рассматривать ряд
[tex]\sum\limits_{n=6}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-5},[/tex] а не [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-5},[/tex]
поскольку [tex]a_5[/tex] не существует. Поскольку
[tex]c _6 > c_7 > c_8 > \ldots > c_n > \ldots[/tex] и [tex]\lim\limits_{n\to \infty}c_n=0,[/tex] ряд [tex]\sum\limits_{n=6}^{\infty}(-1)^nc_n[/tex] по признаку Лейбница сходится.
Если (хотя в условии задачи об этом не говорится) исследовать этот ряд на абсолютную и условную сходимость, то сразу можно заметить, что ряд [tex]\sum\limits_{n=6}^{\infty}|a_n|=\sum\limits_{n=6}^{\infty}c_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots[/tex] является гармоническим рядом и поэтому расходится. А поскольку сам ряд сходится, мы делаем вывод, что он сходится условно.
б) [tex]a_n=\cos^3n\cdot {\rm arctg }\dfrac{n+1}{n^3+1}.[/tex] Сразу будем исследовать ряд на абсолютную сходимость:
[tex]|a_n|\le b_n={\rm arctg} \dfrac{n+1}{n^3+1}\sim c_n=\dfrac{n+1}{n^3+1}\sim d_n=\dfrac{n}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}.[/tex]
Поскольку [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n[/tex] сходится как ряд Дирихле (он же обобщенный гармонический ряд) [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}[/tex] с p=2>1, ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n[/tex] сходится по предельному признаку сравнения, а тогда ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n[/tex] сходится по тому же признаку, а тогда ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|[/tex] сходится по признаку сравнения, что означает абсолютную сходимость исходного ряда.