Verified answer

Ответ:

Сходится.

Объяснение:

 [tex]a_n=\dfrac{(-1)^n}{n-5};\ a_n=(-1)^nc_n,[/tex]  где [tex]c_n=\dfrac{1}{n-5} > 0[/tex]  (при n>5).

Применим признак Лейбница, который формулируется так: если

1)    [tex]c_1 > c_2 > c_3 > \ldots > c_n > \ldots[/tex]  

2) [tex]\lim\limits_{n\to \infty}c_n=0,[/tex]

то ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^nc_n[/tex]   сходится.

Нам, правда, надо писать первое условие начиная с  [tex]c_6,[/tex] но это не мешает пользоваться признаком Лейбница: [tex]c_6 > c_7 > \ldots.[/tex]

Итак, начинаем проверять условия признака Лейбница. Пусть n>5; надо доказать, что [tex]c_n > c_{n+1}.[/tex] Для этого рассмотрим разность

[tex]c_n-c_{n+1}=\dfrac{1}{n-5}-\dfrac{1}{n-4}=\dfrac{(n-4)-(n-5)}{(n-5)(n-4)}=\dfrac{1}{(n-5)(n-4)} > 0\Rightarrow[/tex]

                                              [tex]c_n > c_{n+1}.[/tex]

Теперь доказываем, что предел [tex]c_n[/tex] равен нулю:

                            [tex]\lim\limits_{n\to \infty}c_n=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{n-5}=\dfrac{1}{\infty}=0.[/tex]

Вывод: по признаку Лейбница наш ряд сходится.