11. [tex]y'+xy=x^3y^3.[/tex] Это уравнение Бернулли. Его можно сразу свести к линейному уравнению с помощью замены [tex]\dfrac{1}{y^2}=t,[/tex] а можно решать так же, как и линейные - с помощью замены y=uv (фактически это метод вариации произвольной постоянной). Пойдем вторым путем.
Мы не приписывали произвольную постоянную, так как нас сейчас интересует не общее решение, а одно ненуленое решение. Если эта выкладка показалась не вполне понятной, можете разделить переменные: [tex]v'=-xv;\ \frac{dv}{dx}=-xv;\ \frac{dv}{v}=-x\, dx;\ \int\frac{dv}{v}=-\int x\, dx;\ \ln|v|=-\frac{x^2}{2};\ v=e^{-\frac{x^2}{2}}.[/tex]
Подставляя в уравнение найденное v (при этом скобка обратится в ноль), получаем [tex]u'e^{-\frac{x^2}{2}}=x^3u^3e^{-\frac{3x^2}{2}};\ u'=x^3u^3e^{-x^2};\ \frac{du}{u^3}=x^3e^{-x^2};[/tex]
12. [tex]xy'+y=x^3.[/tex] Это линейное уравнение: его можно решать тем же способом. Но мы решим проще. Заметим, что (xy)'=xy'+y, поэтому уравнение может быть записано в виде
Answers & Comments
Ответ:
[tex]\displaystyle \boldsymbol { y(x)=\frac{x^3}{4} +\frac{C}{x} }[/tex]
Объяснение:
[tex]\displaystyle xy'+y=x^3 \qquad \bigg[1=\frac{d}{dx}(x)\bigg] \\\\\\x\frac{d}{dx} (y)+\frac{d}{dx} (x)*y=x^3\qquad \bigg[\frac{dg}{dx}f+\frac{df}{dx} g=\frac{d}{dx} \bigg(fg\bigg)\bigg]\\\\\\\frac{d}{dx}(xy)=x^3\\\\\\ \int \frac{d}{dx} (xy) \;dx=\int x^3\;dx\\\\xy=\frac{x^4}{4} +C\\\\\\y(x)=\frac{x^3}{4} +\frac{C}{x}[/tex]
Verified answer
Ответ:
11. [tex]y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1-Ce^{x^2}}}.[/tex] 12. [tex]y=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{C}{x}.[/tex]
Объяснение:
11. [tex]y'+xy=x^3y^3.[/tex] Это уравнение Бернулли. Его можно сразу свести к линейному уравнению с помощью замены [tex]\dfrac{1}{y^2}=t,[/tex] а можно решать так же, как и линейные - с помощью замены y=uv (фактически это метод вариации произвольной постоянной). Пойдем вторым путем.
[tex]y=uv,\ y'=u'v+uv';\ u'v+uv'+xuv=x^3u^3v^3;\ u'v+u(v'+xv)=x^3u^3v^3;[/tex]
Подберём ненулевую функцию v(x), обращающую скобку в ноль:
[tex]v'+xv=0;\ v'=-xv;\ v=e^{-\int x\, dx}=e^{-\frac{x^2}{2}.[/tex]
Мы не приписывали произвольную постоянную, так как нас сейчас интересует не общее решение, а одно ненуленое решение. Если эта выкладка показалась не вполне понятной, можете разделить переменные: [tex]v'=-xv;\ \frac{dv}{dx}=-xv;\ \frac{dv}{v}=-x\, dx;\ \int\frac{dv}{v}=-\int x\, dx;\ \ln|v|=-\frac{x^2}{2};\ v=e^{-\frac{x^2}{2}}.[/tex]
Подставляя в уравнение найденное v (при этом скобка обратится в ноль), получаем [tex]u'e^{-\frac{x^2}{2}}=x^3u^3e^{-\frac{3x^2}{2}};\ u'=x^3u^3e^{-x^2};\ \frac{du}{u^3}=x^3e^{-x^2};[/tex]
[tex]\int\frac{du}{u^3}=\int x^3e^{-x^2}\, dx;\ -\frac{1}{2u^2}=\frac{1}{2}\int x^2e^{-x^2}\, dx^2\ ;\ ||-x^2=t||; -\frac{1}{u^2}=\int te^t\, dt;[/tex]
[tex]-\frac{1}{u^2}=te^t-e^t+C;\ u^2=\dfrac{1}{-te^t+e^t-C};\ u=\pm\dfrac{1}{\sqrt{-te^t+e^t-C}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2e^{-x^2}+e^{-x^2}-C}};[/tex]
[tex]y=uv=\pm\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2e^{-x^2}+e^{-x^2}-C}}\right)\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}=\pm\sqrt{\dfrac{e^{-x^2}}{x^2e^{-x^2}+e^{-x^2}-C}}};[/tex]
[tex]y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1-Ce^{x^2}}}.[/tex]
12. [tex]xy'+y=x^3.[/tex] Это линейное уравнение: его можно решать тем же способом. Но мы решим проще. Заметим, что (xy)'=xy'+y, поэтому уравнение может быть записано в виде
[tex](xy)'=x^3;\ xy=\int x^3\, dx;\ xy=\dfrac{x^4}{4}+C;\ y=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{C}{x}.[/tex]
Замечание. Деление на x не приводит к потере решения, поскольку x=0 решением не является.