Ответ:

1) 2; 2) 2 и 3.

Объяснение:

Вспомним формулу Бернулли: если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p, то вероятность того, что событие A произойдет k раз (мы её будем обозначать как [tex]p_k=P(S_n=k)[/tex]), равна

                                   [tex]p_k=P(S_n=k)=C_n^kp^kq^{n-k},[/tex]    где q=1-p.

Чтобы не менять обозначения в условии задачи, будем искать наиболее вероятное число опоздавших. У нас n=20, мы исследуем отношение [tex]\dfrac{p_k}{p_{k+1}},[/tex] сравнивая его с 1:

     [tex]\dfrac{C_{20}^kp^kq^{20-k}}{C_{20}^{k+1}p^{k+1}q^{19-k}}=\dfrac{20!\cdot (k+1)!\cdot (19-k)!\cdot q}{20!\cdot k!\cdot(20-k)!\cdot p}=\dfrac{(k+1)\cdot q}{(20-k)\cdot p} < ( > ,=)1;[/tex]

   [tex]kq+q < ( > ; =)\ 20p-kp;[/tex]  [tex]k(q+p) < ( > ,=) 20p-q;\ k < ( > , =)20p-q.[/tex]

1-й случай. p=0,1; q=0,9; [tex]k < ( > ,=) 1,1.[/tex] Вывод: [tex]\dfrac{p_k}{p_{k+1}} < 1[/tex](то есть [tex]p_k < p_{k+1}[/tex]) при k=0 и k=1 и [tex]\dfrac{p_k}{p_{k+1}} > 1[/tex] (то есть [tex]p_k > p_{k+1}[/tex]) при k=2, 3, ... , 19. Иными словами, [tex]p_0 < p_1 < p_2 > p_3 > p_4 > \ldots > p_{20}.[/tex] Поэтому наиболее вероятное число опоздавших равно 2, а тогда наиболее вероятное число пришедших вовремя равно 18.

2-й случай. [tex]p=\dfrac{1}{7};\ q=\dfrac{6}{7};\ k < ( > ,=) 2.[/tex] Вывод: [tex]p_0 < p_1 < p_2=p_3 > p_4 > p_5 > \ldots > p_{20}.[/tex] Поэтому наиболее вероятное число опоздавших равно 2 и 3, а тогда наиболее вероятное число пришедших вовремя равно 17 и 18.