Verified answer

Ответ:

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

имеет вид  [tex]\bf y'=f(x)\cdot g(y)[/tex]   или   [tex]\bf f_1(x)\cdot g_1(y)\, dx+f_2(x)\cdot g_2(y)\, dy=0[/tex]  .

Поэтому в условии примера должно содержаться  dy .

[tex]\displaystyle \bf 3\sqrt{xy}\, dx-\dfrac{1}{x-1}\, dy=0[/tex]  

Разделим равенство на   [tex]\bf \dfrac{\sqrt{y}}{x-1}\ \ ,\ \ (\, x\ne 1\, )[/tex]   .

[tex]\displaystyle \bf 3\sqrt{xy}:\dfrac{\sqrt{y}}{x-1}\, dx-\dfrac{1}{x-1}:\dfrac{\sqrt{y}}{x-1}\, dy=0\\\\\\\dfrac{3\sqrt{xy}(x-1)}{\sqrt{y}}\, dx=\dfrac{x-1}{(x-1)\cdot \sqrt{y}}\, dy\\\\\\\int 3\sqrt{x}\, (x-1)\, dx=\int \dfrac{dy}{\sqrt{y}}\\\\\\3\int (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}})\, dx=\int \frac{dy}{\sqrt{y}}\\\\\\3\, \Big(\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\Big)=2\sqrt{y}+C\\\\\\2\sqrt{y}=\frac{6\sqrt{x^5}}{5}-2\sqrt{x^3}-C[/tex]  

[tex]\bf \displaystyle \sqrt{y}=\frac{3\sqrt{x^5}}{5}-\sqrt{x^3}-\dfrac{C}{2}\\\\\\\boxed{\bf \ y=\Big(\frac{3\sqrt{x^5}}{5}-\sqrt{x^3}+C_1\Big)^2\ }\ \ ,\ \ \ C_1=-\dfrac{C}{2}[/tex]