Verified answer

Ответ:

Общее решение дифференциального уравнения:

[tex]\displaystyle \bf F=x+\frac{x^4}{4}+\frac{3}{2}x^2y^2+\frac{y^4}{4} +C[/tex]

Объяснение:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

(1 + х³ + 3ху²)dx + (y³ + 3x²y)dy = 0

1. Определим вид уравнения.

Найдем частную производную по х первого слагаемого и по у второго слагаемого:

[tex]\displaystyle (1+x^3+3xy^2)'_x=3x^2+3y^2[/tex]

[tex]\displaystyle (y^3+3x^2y)'_y=3y^2+3x^2[/tex]

- производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах вида:

[tex]\displaystyle\bf \frac{\partial F}{\partial x} dx+\frac{\partial F}{\partial y} dy=0[/tex]

2. Запишем систему уравнений:

[tex]\displaystyle \left \{ {{\frac{\partial F}{\partial x}=1+x^3+3xy^2 } \atop {\frac{\partial F}{\partial y}=y^3+3x^2y }} \right.[/tex]

3. Проинтегрируем первое уравнение по х (y - const):

[tex]\displaystyle F=\int\limits {(1+x^3+3xy^2)} \, dx =\\\\=\int\limits dx +\int\limits{x^3} \, dx +3y^2\int\limits {x} \, dx =\\\\=x+\frac{x^4}{4} +3y^2\cdot \frac{x^2}{2}+\phi(y)=\\\\=x+\frac{x^4}{4}+\frac{3}{2}x^2y^2+\phi(y)\;\;\;\;\;(1)[/tex]  

4. F продифференцируем по y:

[tex]\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} =0+0+\frac{3}{2}x^2\cdot2y+\phi '(y)=3x^2y+\phi '(y)[/tex]

Приравняем ко второму уравнению системы:

[tex]\displaystyle 3x^2y+\phi '(y)=y^3+3x^2y\\\\\phi '(y)=y^3[/tex]

5. Проинтегрируем и найдем φ(у):

[tex]\displaystyle \phi(y)=\int\limits {y^3} \, dy=\frac{y^4}{4}+C[/tex]

6. Подставим φ(у) в (1):

[tex]\displaystyle \bf F=x+\frac{x^4}{4}+\frac{3}{2}x^2y^2+\frac{y^4}{4} +C[/tex]

Ответ:

11.  [tex]xe^y+ye^x=C.[/tex]   12.  [tex]4x+x^4+y^4+6x^2y^2=C.[/tex]

Объяснение:

Конечно, это уравнения в полных дифференциалах. Хочу показать, как их можно решать проще.

11.                       [tex](xe^y+e^x)\, dy+(e^y+ye^x)\, dx=0;[/tex]

 [tex]xe^y\, dy+e^x\, dy+e^y\, dx+ye^x\, dx=0;\ (x\, de^y+e^y\, dx)+(e^x\, dy+y\, de^x)=0;[/tex]

[tex]d(xe^y)+d(ye^x)=0;\ d(xe^y+ye^x)=0;\ xe^y+ye^x=C.[/tex]

12.                  [tex](1+x^3+3xy^2)\, dx+(y^3+3x^2y)\, dy=0;[/tex]

              [tex]dx+d\left(\dfrac{x^4}{4}\right)+d\left(\dfrac{y^4}{4}\right)+\dfrac{3}{2}\left(y^2\, dx^2+x^2\, dy^2\right)=0;[/tex]

   [tex]d\left(x+\dfrac{x^4+y^4}{4}+\dfrac{3}{2}x^2y^2\right)=0;\ d\left(4x+x^4+y^4+6x^2y^2\right)=0;[/tex]

                               [tex]4x+x^4+y^4+6x^2y^2=C.[/tex]