Verified answer

Ответ:

 [tex]y=-x\ln x+2x.[/tex]

Объяснение:

Скорее всего имеется в виду, что не отрезок равен абсциссе, а длина отрезка равна абсциссе. Кроме того, думаю, что под отрезком, отсекаемым на оси ординат, имеется в виду отрезок, один из концов которого лежит в начале координат. Возможна и такая интерпретация:  ордината точки пересечения касательной с осью OY равна абсциссе точки касания. Кстати, последняя идея мне нравится больше остальных, поэтому остановлюсь на ней.

Пусть кривая задана уравнением y=y(x), и точка [tex](x_0;\ y_0)[/tex] лежит на кривой (конечно, [tex]y_0=y(x_0) ).[/tex] . Пишем уравнение касательной:

                                [tex]y-y_0=y'(x_0)(x-x_0),[/tex]  

и чтобы найти ординату точки пересечения касательной с осью OY, подставляем в уравнение x=0:

                                  [tex]y=y_0+y'(x_0)(-x_0).[/tex]      

По условию задачи [tex]y=x_0,[/tex] поэтому получаем такое соотношение:

                                    [tex]x_0=y_0-y'(x_0)x_0.[/tex]

Оно должно быть выполнено для любой точки на кривой, поэтому мы можем опустить индексы:

                                      [tex]x=y-y'(x)x,[/tex]

и даже вместо y'(x) писать просто y':

                                        [tex]x=y-y'x.[/tex]

Решим получившееся дифференциальное уравнение:

       [tex]xy'-y=-x;\ \dfrac{xy'-x'y}{x^2}=-\dfrac{1}{x};\ \left(\dfrac{y}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x};\ \dfrac{y}{x}=-\ln|x|+C.[/tex]

Для нахождения C подставим координаты известной точки, лежащей на кривой:

           [tex]\left \{ {{x=1} \atop {y=2}} \right. \Rightarrow \dfrac{2}{1}=-\ln1+C;\ C=2 \Rightarrow y=-x\ln|x|+2x.[/tex]

Поскольку нас интересует кривая, проходящая через точку (1;2) с положительной абсциссой, опустим знак модуля, после чего получаем окончательный ответ:

    [tex]y=-x\ln x+2x.[/tex]