Ответ:

5.

Объяснение:

 [tex]\lim\limits_{n\to \infty}(\sqrt{5}\sqrt[4]{5}\sqrt[8]{5}\cdot\ldots\cdot \sqrt[2^n]{5})=\lim\limits_{n\to \infty}5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n}}=5^{\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\ldots+\frac{1}{2^n})}=\\ =5^{\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}=5.[/tex]

Мы воспользовались школьными знаниями о сумме бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

                      [tex]b_0+b_0q+b_0q^2+\ldots +b_0q^n+\ldots=\dfrac{b_0}{1-q}.[/tex]

В нашем случае   [tex]b_0=q=\dfrac{1}{2}.[/tex]

Замечание. То, что       [tex]\dfrac {1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots+\dfrac{1}{2^n}+\ldots =1,[/tex] интуитивно очевидно (если съесть половину яблока (останется половина), затем четверть яблока (это половина от остатка, останется четверть), затем одну восьмую яблока (это половина от остатка, останется одна восьмая часть), и так далее до бесконечности, то мы съедим всё яблоко).