Verified answer

Ответ:

7/15

Объяснение:

Делаем чертеж.

х + у = 2   ⇒  у = 2-х

Нам нужен внешний интеграл по х.

Мотрим, как изменяется х.

Он изменяется от 0 до 1.

Как изменяется у.

Он изменяется от x³ до (2-х)

Вот, собственно и все.

Мы перешли от двойного интеграла к повторному.

[tex]\displaystyle \int\limits^1_0 {} \, dx \int\limits^{2-x}_{x^3} {x} \, dy[/tex]

Вычисляем внутренний интеграл

[tex]\displaystyle \int\limits^{2-x}_{x^3} {x} \, dy=xy\bigg|_{x^3}^{2-x}=x(2-x)-x*x^3=-x^4-x^2+2x[/tex]

Теперь считаем внешний интеграл

[tex]\displaystyle \int\limits^1_0 {\bigg(-x^4-x^2+2x\bigg)} \, dx =-\frac{x^5}{5}\bigg|_0^1-\frac{x^3}{3} \bigg|_0^1+2\frac{x^2}{2} \bigg|_0^1=-\frac{1}{5} -\frac{1}{3} +1=\frac{7}{15}[/tex]