Verified answer

Ответ:

Объяснение:

1) [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{n^3+2}}{n^2\cdot\sin^2n}.[/tex] Заметим, во-первых, что знаменатель не обращается в ноль ни при каких n - ведь если [tex]\sin n=0,[/tex] то [tex]n=\pi k,[/tex] а тогда [tex]\pi=\frac{n}{k},[/tex] что противоречит иррациональности числа [tex]\pi.[/tex] Имеем:

                      [tex]a_n=\dfrac{\sqrt{n^3+2}}{n^2\cdot\sin^2n} > \dfrac{\sqrt{n^3}}{n^2}\ge\dfrac{n}{n^2}=\dfrac {1}{n}=b_n.[/tex]

Ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n[/tex] расходится (это всем известный гармонический ряд), поэтому исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

2) [tex]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{n^3}{(\ln n)^n}.[/tex] Обращаю внимание на то, что суммировать нужно не с n=1, а с  n=2, чтобы знаменатель не обращался в ноль.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

                       [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(\sqrt[n]{n})^3}{\ln n}=\dfrac{1}{\infty}=0 < 1\Rightarrow[/tex]

ряд сходится.

Для доказательства того, что числитель стремится к 1, можно применить правило Лопиталя:

 [tex]\lim\limits_{x\to \infty}x^{1/x}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\ln x^{1/x}}=e^{\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\ln x)'}{x'}}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}}=e^0=1.[/tex]