Verified answer

Ответ:

   [tex]y=a+Ce^{1/x};\ x=0.[/tex]

Объяснение:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, но одновременно это линейное однородное уравнение относительно функции (y-a). Недавно я показывал технику решения уравнений с разделяющимися переменными; повторяться мне не хотелось бы. Воспользуемся знаниями о линейных однородных уравнениях. Если уравнение имеет вид

                                               [tex]y'+f(x)y=0[/tex]

с непрерывной функцией f(x), то общее решение может быть найдено по формуле

                                              [tex]y=Ce^{-\int f(x)\, dx}.[/tex]

В нашем случае имеем следующее:

      [tex]x^2\, dy+(y-a)\, dx=0;\ y'+\dfrac{1}{x^2}(y-a)=0; (y-a)'+\dfrac{1}{x^2}(y-a)=0;[/tex]

         [tex]f(x)=\dfrac{1}{x^2};\ \int f(x)\, dx=\int\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}; y-a=Ce^{1/x}; y=a+Ce^{1/x}.[/tex]

Замечание.  При делении уравнения на x и  dx было потеряно решение x=0 (при делении на dx можно было потерять решения x=c при любом c, но проверка показывает, что потеряно только решение x=0).