Объяснение:

попробуйте предложенный вариант; ответы подчёркнуты цветным.

Verified answer

Ответ:

[tex]\displaystyle \int\limits {(\sqrt{2}\;x-3)\;cosx } \, dx=\frac{1}{2}(\sqrt{2}x-3)\cdot sin2x+\frac{\sqrt{2} }{4}cos2x+C[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{x^3}{(x-1)(x+1)(x+2)} } \, dx=x+\frac{1}{6}ln|x-1|+\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{8}{3}ln|x+2|+C[/tex]

Объяснение:

Вычислить интеграл:

1.     [tex]\displaystyle\bf \int\limits {(\sqrt{2}\;x-3)\;cosx } \, dx[/tex]

Интегрирование по частям:

[tex]\displaystyle\bf \int\limits {u} \, dv =uv-\int\limits {v} \, du[/tex]

[tex]\displaystyle u=\sqrt{2}\;x-3\\ \\du=\sqrt{2}\;dx[/tex]          [tex]\displaystyle dv=cos2x\;dx\\\\v=\frac{1}{2} sin2x[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits {(\sqrt{2}\;x-3)\;cosx } \, dx=(\sqrt{2}x-3)\cdot\frac{1}{2}sin2x- \frac{\sqrt{2} }{2} \int\limits {sin2x} \, dx =\\\\=\frac{1}{2}(\sqrt{2}x-3)\cdot sin2x- \frac{\sqrt{2} }{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot (-cos2x) =\\\\=\frac{1}{2}(\sqrt{2}x-3)\cdot sin2x+\frac{\sqrt{2} }{4}cos2x+C[/tex]

2.     [tex]\displaystyle\bf \int\limits {\frac{x^3}{(x-1)(x+1)(x+2)} } \, dx[/tex]

Преобразуем подинтегральное выражениие.

Выделим целую часть:

[tex]\displaystyle \frac{x^3}{(x^2-1)(x+2)}=\frac{x^3}{x^3+2x^2-x-2} =\frac{(x^3+2x^2-x-2)-2x^2+x+2}{x^3+2x^2-x-2} =\\\\=1-\frac{2x^2-x-2}{(x-1)(x+1)(x+2)}[/tex]

Получим сумму интегралов:

[tex]\displaystyle \int\limits {1} \, dx -\int\limits {\frac{2x^2-x-2}{(x-1)(x+1)(x+2)} } \, dx[/tex]

Вычислим второй интеграл, представив подинтегральное выражение в виде суммы простейших дробей:

[tex]\displaystyle \frac{2x^2-x-2}{(x-1)(x+1)(x+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} +\frac{C}{x+2}[/tex]

Избавимся от знаменателя:

[tex]\displaystyle 2x^2-x-2=A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x^2-1)[/tex]

[tex]\displaystyle 2x^2-x-2=Ax^2+3Ax+2A+Bx^2+Bx-2B+Cx^2-C\\\\2x^2-x-2=(A+B+C)x^2+(3A+B)x+(2A-2B-C)[/tex]

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х, решим систему уравнений:

[tex]\begin{equation*} \begin{cases}A+B+C=2 \\3A+B=-1 \\2A-2B-C=-2 \end{cases}\end{equation*}[/tex]

из второго уравнения:

[tex]\displaystyle B=-1-3A[/tex]

подставим в первое:

[tex]\displaystyle A-1-3A+C=2;\;\;\;\;\;C=3+2A[/tex]

В и С подставим в третье:

[tex]\displaystyle 2A+2+6A-3-2A=-2;\;\;\;\;\;6A=-1;\;\;\;\;\;A=-\frac{1}{6}[/tex]

[tex]\displaystyle B=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \\\\C=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits {1} \, dx -\int\limits {\frac{2x^2-x-2}{(x-1)(x+1)(x+2)} } \, dx=\\\\=\int\limits dx +\frac{1}{6}\int\limits {\frac{dx}{x-1} } +\frac{1}{2} \int\limits {\frac{dx}{x+1} } -\frac{8}{3}\int\limits {\frac{dx}{x+2} } =\\\\=x+\frac{1}{6}ln|x-1|+\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{8}{3}ln|x+2|+C[/tex]