Verified answer

Ответ:

[tex]\bf \overline{a}=5\overline{i}-\overline{j}+3\overline{k}\ \ ,\ \ \overline{b}=3\overline{i}-5\overline{k}\\\\\overline{a}=(5;-1;3)\ \ ,\ \ \overline{b}=(3;0;-5)[/tex]  

а)  Скалярное произведение векторов :

[tex]\bf (\overline{a},\overline{b})=5\cdot 3-1\cdot 0+3\cdot (-5)=15-15=0\ \ \Rightarrow \ \ \overline{a}\perp \overline{b}[/tex]  

б)  Орт вектора а . Найдём сначала длину вектора .  

[tex]\bf |\overline{a}|=\sqrt{5^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{35}\\\\\overline{a}^0=\Big(\ \dfrac{5}{\sqrt{35}}\ ;\ -\dfrac{1}{\sqrt{35}}\ ;\ \dfrac{3}{\sqrt{35}}\ \Big)[/tex]  

в) Направляющие косинусы вектора  а :

[tex]\bf cos\alpha =\dfrac{5}{\sqrt{35}}\ ,\ \ cos\beta =-\dfrac{1}{\sqrt{35}}\ ,\ \ cos\gamma =\dfrac{3}{\sqrt{35}}[/tex]  

г) Проекция вектора  [tex]\bf -2\overline{a}+\overline{b}[/tex]  на вектор  [tex]\bf \overline{a}[/tex]  :

[tex]\bf proekciya\, _{\overline{a}}(-2\overline{a}+\overline{b})=\dfrac{(-2\overline{a}+\overline{b},\ \overline{a})}{|\overline{a}|}[/tex]  

[tex]\bf -2\overline{a}+\overline{b}=(-10+3\, ;\ 2+0\ ;\, -6-5)=(-7;\ 2-11)\\\\(-2\overline{a}\overline{b},\, \overline{a})=-7\cdot 5-1\cdot 2-3\cdot 11=-70\\\\proekciya\, _{\overline{a}}(2\overline{a}+\overline{b})=-\dfrac{70}{\sqrt{35}}=-2\sqrt{35}[/tex]  

д)   В пункте а) уже была доказана перпендикулярность векторов [tex]\bf \overline{a}[/tex]  и  [tex]\bf \overline{b}[/tex]  .

Эти векторы не коллинеарны, так как координаты их не пропорциональны .