Verified answer

Ответ:

[tex]\bf 5)\ \ xy'-2y=2x^4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y'-\dfrac{2}{x}\cdot y=2x^3[/tex]  

Имеем линейное дифф. ур-ие 1-го пор.

Делаем замену:   [tex]\bf y=uv\ ,\ y'=u'v+uv'[/tex]  

[tex]\bf u'v+uv'-\dfrac{2}{x}\cdot uv=2x^3\ \ \Rightarrow \ \ \ u'v+u\cdot \Big(\underbrace{\bf v'-\dfrac{2}{x}\cdot v}_{=0}\Big)=2x^3[/tex]  

а)  Находим функцию  v(x)  такую, чтобы скобка в предыдущем равенстве была равна 0 .

[tex]\displaystyle \bf v'-\dfrac{2}{x}\cdot v=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=\dfrac{2}{x}\cdot v\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \int \frac{dv}{v}=\int \frac{2\, dx}{x}\ \ ,\\\\\\ln\, |v|=ln\, |x|\ \ \Rightarrow \ \ \ v=x\\\\b)\ \ u'v=2x^3\ \ ,\ \ u'\cdot x=2x^3\ \ ,\ \ \dfrac{du}{dx}=2x^2\ \ ,\ \ \int du=\int 2x^2\, dx\ ,\\\\\\u=2\cdot \frac{x^3}{3}+C\\\\\\c)\ \ y=uv\ \ ,\ \ y=x\cdot \Big(\frac{2\, x^3}{3}+C\Big)\ \ ,\ \ \ \boxed{\bf \ y=\frac{2\, x^4}{3}+Cx\ }[/tex]