Ответ:

[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n[/tex]

Объяснение:

Сформулируем сначала необходимый признак сходимости:

       Если ряд    [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/tex]   сходится, то   [tex]\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0.[/tex]

Переформулируем его также в виде достаточного признака расходимости:

     Если   [tex]\lim\limits_{n\to \infty}a_n\not= 0[/tex] или не существует, то ряд  [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/tex]   расходится.

1) [tex]a_n=(-1)^n;\ \lim\limits_{n\to \infty}a_n[/tex]  не существует (можно объяснить это так: предел подпоследовательности с четными номерами равен 1, поскольку все её члены равны 1, а предел подпоследовательности с нечетными номерами равен минус 1, поскольку все её члены равны минус 1. Но если предел последовательности существует, то все её частичные пределы (то есть пределы подпоследовательностей) совпадают. Поэтому доказано, что предел последовательности не существует). Вывод: ряд с такими членами расходится.

2)  [tex]a_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1};\ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0[/tex]   (это следует из того, что числитель ограничен, а знаменатель стремится к бесконечности). Поэтому без дополнительного исследования нельзя сказать, сходится этот ряд или нет. Насколько я понял, дальнейшее исследование не предполагается, однако для знающих признак Лейбница очевидно, что ряд сходится (причем условно, поскольку взяв члены ряда по модулю, мы получаем гармонический ряд, про который известно, что он расходится (если Вы это не знаете, можно применить к нему интегральный признак Коши, который убедит Вас в этом)).

Verified answer

Ответ:

Знакочередующиеся ряды .

[tex]\bf b)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(-1)^{n}}{n+1}[/tex]  

Для исследования знакочередующихся рядов на сходимость применяют признак Лейбница . В нём содержится проверка двух пунктов .

Дан знакочередующийся ряд  [tex]\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, a_{n}[/tex]   . Если

1)  члены ряда , составленные из модулей, монотонно убывают,

начиная с некоторого номера:   [tex]\bf |\, a_1\, |\geq |\, a_2\, |\geq \dots \geq |\, a_{n}\, |\geq \dots[/tex]  и

2)   [tex]\bf \lim \limits _{n \to \infty}\, |\, a_{n}\, |=0[/tex]    , то ряд  cходится  .

Проверяем 1 пункт . Составим рад из модулей:  [tex]\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{1}{n+1}[/tex]   .

Члены этого ряда монотонно убывают :  [tex]\bf \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4} > \ ...\dfrac{1}{n+1} > \dfrac{1}{n+2} > \ ...[/tex]  

Проверяем 2 пункт .   [tex]\bf \lim\limits_{n \to \infty}\, \Big|\dfrac{(-1)^{n}}{n+1}\,\Big|= \lim\limits_{n \to \infty}\, \dfrac{1}{n+1}=\Big[\dfrac{1}{\infty }\Big]=0[/tex]  

Оба условия признака Лейбница выполнены. Значит знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница .

P.S. Заметим, что второе условие - это проверка для знакоположительного ряда необходимого признака сходимости  ( ряд из модулей - знакоположителен ) .

Можно проверить ряд на абсолютную сходимость . Для этого проверим на сходимость ряд, составленный из модулей .

Применим достаточный признак сравнения . Сравним с расходящимся гармоническим рядом  [tex]\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{1}{n}[/tex]   .

Найдём предел  [tex]\bf \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{a_{n}}{b_{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{1}{n+1}:\dfrac{1}{n}= \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{n}{n+1}=1\ne 0\ \ \Rightarrow[/tex]  

оба ряда ведут себя одинаково, значит ряд из модулей расходится , а поэтому нет абсолютной сходимости знакочередующегося исходного ряда .

Вывод:  заданный ряд сходится условно ( по признаку Лейбница) .

   [tex]\bf a)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (-1)^{n}=-1+1-1-1+1-\dots[/tex]  

Этот ряд можно проверять таким же образом . Но вообще достаточно проверить, что не выполняется одно из условий ( или оба ) признака Лейбница .

Ряд из модулей :  [tex]\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, |\, (-1)^{n}\, |=\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, 1=1+1+1+\dots +1+\dots[/tex]  

[tex]\bf \lim \limits _{n \to \infty}\, |\, a_{n}\, |= \lim \limits _{n \to \infty}\, |\, (-1)^{n}\, |= \lim \limits _{n \to \infty}\, 1=1\ne 0[/tex]    

Не выполняется 2 условие признака Лейбница, значит знакочередующийся ряд расходится .

P.S.  Для этого ряда очень легко найти устно предел общего члена ряда, составленного из модулей . Ясно, что если общий член ряда равен числу , отличному от 0 , то в пределе он  не даст 0 . И необходимый признак сходимости не будет выполнен.  А поэтому среди указанных рядов легко найти заведомо расходящийся этот ряд .

Можно сразу проверить необходимый признак сходимости ряда .

Предел общего члена ряда   [tex]\bf \lim\limits _{n \to \infty}\, (-1)^{n}[/tex]не существует . Значит ряд расходится .