Verified answer

Ответ:

[tex]y=\sqrt[3]{8+Ce^{x^2}}.[/tex]

Объяснение:

                              [tex]3y^2y'+16x=2xy^3[/tex]

Это уравнение становится линейным после замены [tex]y^3=t[/tex], но одновременно оно является уравнением с разделяющимися переменными:

            [tex]3y^2y'=2x(y^3-8);\ 3y^2\, \dfrac{dy}{dx}=2x(y^3-8);\ \dfrac{3y^2\, dy}{y^3-8}=2x\, dx;[/tex]

        [tex]\int\dfrac{3y^2\, dy}{y^3-8}=\int2x\, dx;\ \int\dfrac{dy^3}{y^3-8}=x^2+C;\ \int\dfrac{d(y^3-8)}{y^3-8}=x^2+C;[/tex]

              [tex]\ln |y^3-8|=x^2+C;\ y^3-8=\pm e^{x^2+C};\ y^3=8\pm e^C\cdot e^{x^2};[/tex]

                                 [tex]\pm e^C=C_1\not= 0;\ y=\sqrt[3]{8+C_1e^{x^2}}.[/tex]

Ищем потерянное решение. Решение могло быть потеряно при делении уравнения на y³-8. Поскольку y³-8 обращается в ноль при  y=2, проверяем, является ли функция y=2 решением исходного уравнения (является). Замечаем, что если подставить в общее решение [tex]C_1=0,[/tex] то мы как раз получаем y=2. Поэтому получаем окончательный ответ: [tex]y=\sqrt[3]{8+Ce^{x^2}}[/tex]без всяких ограничений на произвольную постоянную.