6.1. [tex]a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}+7^n} < \dfrac{1}{7^n}=b_n.[/tex] Поскольку ряд [tex]\sum b_n[/tex] сходится (ведь это же бесконечная убывающая геометрическая прогрессия (кто это забыл, можете применить признак Даламбера или радикальный признак Коши)), ряд [tex]\sum a_n[/tex] также сходится по признаку сравнения для положительных рядов.
6.2. [tex]a_n=\dfrac{1}{\ln n} > \dfrac{1}{n}=b_n.[/tex] Поскольку ряд [tex]\sum b_n[/tex] расходится (ведь это же знаменитый гармонический ряд (кто это забыл, примените интегральный признак Коши)), ряд [tex]\sum a_n[/tex] также расходится по признаку сравнения для положительных рядов.
Если Вы сомневаетесь в неравенстве [tex]a_n > b_n,[/tex] можно поступить так: докажем, что [tex]\ln x < x[/tex] при x>1. Для этого рассмотрим функцию
[tex]f(x)=\ln x -x.[/tex] Имеем: f(1)=ln 1-1=0-1=-1<0; [tex]f'(x)=\dfrac{1}{x}-1 < 0[/tex] при x>1, поэтому функция убывает. А раз при x=1 она отрицательна, то и справа от 1 она будет отрицательной. Итак, доказано, что ln x<x при x>1, а поскольку обе функции положительны, справедливо неравенство [tex]\dfrac{1}{\ln x} > \dfrac{1}{x}.[/tex]
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Сходится; расходится.
Объяснение:
6.1. [tex]a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}+7^n} < \dfrac{1}{7^n}=b_n.[/tex] Поскольку ряд [tex]\sum b_n[/tex] сходится (ведь это же бесконечная убывающая геометрическая прогрессия (кто это забыл, можете применить признак Даламбера или радикальный признак Коши)), ряд [tex]\sum a_n[/tex] также сходится по признаку сравнения для положительных рядов.
6.2. [tex]a_n=\dfrac{1}{\ln n} > \dfrac{1}{n}=b_n.[/tex] Поскольку ряд [tex]\sum b_n[/tex] расходится (ведь это же знаменитый гармонический ряд (кто это забыл, примените интегральный признак Коши)), ряд [tex]\sum a_n[/tex] также расходится по признаку сравнения для положительных рядов.
Если Вы сомневаетесь в неравенстве [tex]a_n > b_n,[/tex] можно поступить так: докажем, что [tex]\ln x < x[/tex] при x>1. Для этого рассмотрим функцию
[tex]f(x)=\ln x -x.[/tex] Имеем: f(1)=ln 1-1=0-1=-1<0; [tex]f'(x)=\dfrac{1}{x}-1 < 0[/tex] при x>1, поэтому функция убывает. А раз при x=1 она отрицательна, то и справа от 1 она будет отрицательной. Итак, доказано, что ln x<x при x>1, а поскольку обе функции положительны, справедливо неравенство [tex]\dfrac{1}{\ln x} > \dfrac{1}{x}.[/tex]