Verified answer

Ответ:

2

Объяснение:

Ответ, конечно, 2: представьте, сначала Вы съедаете яблоко (первое слагаемое), затем половину второго (второе слагаемое), затем половину остатка (ведь когда Вы съели половину, у Вас осталасъ несъеденной вторая половина, а четверть яблока - это как раз половина оставшейся половины; при этом у Вас останется четверть яблока), и так далее. В результате бесконечной череды откусываний Вы доедите второе яблоко.

Второй подход - используя школьные знания. Нам же дана бесконечная убывающая геометрическая прогрессия [tex]b_0+b_0q+b_0q^2+\ldots[/tex];  |q|<1; её сумма равна

                                                    [tex]\dfrac{b_0}{1-q}.[/tex]

У нас [tex]b_0=1;\ q=\dfrac{1}{2}; S=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.[/tex]

А теперь найдем сумму исходя из её определения как предела частичных сумм.

          [tex]a_1=1;\ S_1=a_1=1;\ a_2=\dfrac{1}{2};\ S_2=a_1+a_2=S_1+a_2=\dfrac{3}{2};[/tex]

                 [tex]a_3=\dfrac{1}{4};\ S_3=a_1+a_2+a_3=S_2+a_3=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{4}.[/tex]

Замечаем закономерность: [tex]S_n=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n-1}}.[/tex]

Докажем её методом математической индукции. При n=1, n=2, n=3 формула верна (хотя достаточно было проверить её при n=1).

Пусть она верна при некотором n=k: [tex]S_k=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k-1}};[/tex] докажем, что тогда она верна при n=k+1, то есть что  [tex]S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^k-1}.[/tex]

В самом деле,

 [tex]S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=\dfrac{2^k-1}{2^{k-1}}+\dfrac{1}{2^k}=\dfrac{2(2^k-1)+1}{2^k}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^k}.[/tex]

Таким образом, методом математитческой индукции гипотеза доказана. Остается найти сумму ряда:

 [tex]S=\lim\limits_{n\to \infty}S_n=\lim\limits\dfrac{2^n-1}{2^{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)=2.[/tex]