Verified answer

Ответ:

Линейное неоднородное дифф. уравнение 2 пор. с постоянными коэффициентами  (ЛНДУ 2 пор.).

[tex]\bf y''-4y=(x-4)\, e^{x}[/tex]  

Характеристическое уравнение для  ЛОДУ 2 пор. :  [tex]\bf y''-4y=0\ \ \Rightarrow[/tex]

[tex]\bf k^2-4=0\ \ ,\ \ k=\pm 2[/tex]  

Общее решение ЛОДУ 2 пор. :  [tex]\bf y_{oo}=C_1e^{-2x}+C_2\, e^{2x}[/tex]  

Частное решение ЛНДУ 2 пор. по виду правой части имеет вид:

[tex]\bf \widetilde{y}=(Ax+B)\, e^{x}\\\\ \widetilde{y}'=A\, e^{x}+(Ax+B)\, e^{x}\\\\ \widetilde{y}''=Ae^{x}+Ae^{x}+(Ax+B)\, e^{x}\\\\\\y''-4y=2Ae^{x}+(Ax+B)\, e^{x}-4\, (Ax+b)\, e^{x}=(x-4)\, e^{x}\\\\2A+(Ax+B)-4\, (Ax+B)=x-4[/tex]  

Находим коэффициенты А и В методом неопределённых коэффициентов .

[tex]\bf y^0\ |\ 2A+B-4B=-4\ \ ,\ \ \ \ \ 2A-3B=-4\ \ ,\\y^1\ |\ A-4A=1\ \ ,\qquad \qquad \ -3A=1\ \ ,\ \ A=-\dfrac{1}{3}\\\\3B=2A+4=-\dfrac{2}{3}+4=-\dfrac{10}{3}\ \ ,\ \ \ \ B=-\dfrac{10}{9}[/tex]    

Частное решение ЛНДУ 2 пор. :    [tex]\bf \widetilde{y}=-\Big(\dfrac{1}{3}\, x+\dfrac{10}{9}\Big)\, e^{x}[/tex]   .

Общее решение ЛНДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами :

[tex]\bf y_{on}=C_1\, e^{-2x}+C_2\, e^{2x}-\Big(\dfrac{1}{3}\, x+\dfrac{10}{9}\Big)\, e^{x}[/tex]