Verified answer

Ответ: в точке К₁(4;4) имеется максимум z(4;4) =12.

Объяснение:

[tex]z=y\sqrt{x} -y^2-x+6y\\\\[/tex]

1. Найдём частные производные:

[tex]z'_x=(y\sqrt{x} -y^2-x+6y)'_x=\frac{y}{2\sqrt{x} } -1\\\\z'_y=(y\sqrt{x} -y^2-x+6y)'_y=\sqrt{x} -2y+6.[/tex]

2. Решаем систему уравнений:

[tex]\displaystyle\\\left \{ {{\frac{y}{2\sqrt{x} }-1=0 } \atop {\sqrt{x} -2y+6=0}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{\frac{y}{2\sqrt{x} }=1 } \atop {\sqrt{x} -2y=-6}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=2\sqrt{x} } \atop {\sqrt{x} -2*2\sqrt{x} =-6}} \right. \\\\\\\left \{ {{y=2\sqrt{x} } \atop {\sqrt{x} -4\sqrt{x} =-6}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=2\sqrt{x} } \atop {-3\sqrt{x} =-6\ |:(-3)}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=2\sqrt{x} } \atop {\sqrt{x} =2}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{y=4} \atop {x=4}} \right. \ \ \Rightarrow.[/tex]

[tex]K_1(4;4).[/tex]

3. Найдём частные производные второго порядка:

[tex]\displaystyle\\z''_{xx}=(\frac{y}{2\sqrt{x} } )'=-\frac{y}{4x^\frac{3}{2} } .\\\\z''_{xy}=(\frac{y}{2\sqrt{x} } )'=\frac{1}{2\sqrt{x} }.\\\\z''_{yy}=(\sqrt{x} -2y-x+6)'=-2.\\[/tex]

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критической точке К₁(4;4):

[tex]\displaystyle\\A=-\frac{4}{4*4^\frac{3}{2} } =-\frac{1}{8} .\\\\B=\frac{1}{2*\sqrt{4} } =\frac{1}{4}.\\\\C=-2.\\\\\Delta=AC-B^2=(-\frac{1}{8} )*(-2)-(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{1*4-1}{16}=\frac{3}{16} > 0\ \ \ \ \Rightarrow\\\\[/tex]

[tex]\Delta > 0\ \ \ A < 0\ \ \ \ \Rightarrow[/tex]

В точке К₁(4;4) имеется максимум

z(4;4) =4*√4-4²-4+6*4=8-16-4+24=12.

Ответ:

[tex]\bf z=y\sqrt{x}-y^2-x+6y[/tex]  

Найдём стационарные точки . Для этого найдём частные [tex]\bf z'_{x}=y\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1\ \ ,\ \ \ z'_{y}=\sqrt{x}-2y+6\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf \dfrac{y}{2\sqrt{x}}-1=0\\\bf \sqrt{x}-2y+6=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf \dfrac{y}{2\cdot (2y-6)}-1=0\\\bf \sqrt{x}=2y-6\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf \dfrac{y-4y+12}{2(2y-6)}=0\\\bf \sqrt{x}=2y-6\end{array}\right[/tex]  

[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf \dfrac{-3y+12}{2(2y-6)}=0\ ,\\\bf \sqrt{x}=2y-6\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=4\ ,\ y\ne 3\ ,\\\bf \sqrt{x}=2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=4\ ,\\\bf x=4\end{array}\right\ \ \ \bf \Rightarrow \ \ M_0(4;4)[/tex]  

Стационарная точка   [tex]\bf M_0(4;4)[/tex]  .

Проверим достаточное условие экстремума функции двух переменных, для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке  М₀ .

Обозначения:   [tex]\bf A=\dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2}\Big|_{M_0}\ ,\ \ B=\dfrac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}\Big|_{M_0}\ \ ,\ \ C=\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}\Big|_{M_0}[/tex]  

[tex]\bf \dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2}=(z'_{x})'_{x}=\Big(y\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1\Big)'_{x}=\dfrac{y}{2}\cdot \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}}{-2}=-\dfrac{y}{4\sqrt{x^3}}\\\\\\A=-\dfrac{4}{4\sqrt{4^3}}=-\dfrac{4}{4\cdot 8}=-\dfrac{1}{8}\\\\\\\dfrac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=(z'_{x})'_{y}=\Big(\dfrac{y}{2\sqrt{x}} -1\Big)'_{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\\\B=\dfrac{1}{2\sqrt{4}} =\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}[/tex]  

[tex]\bf \dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}=(z'_{y})'_{y}=\Big(\sqrt{x}-2y+6\Big)'_{y}=-2\ \ ,\ \ \ \ \ C=-2[/tex]  

Вычислим значение выражения

[tex]\bf \Delta =AC-B^2=-\dfrac{1}{8}\cdot (-2)-\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16} > 0[/tex]

Так как  Δ>0  , то имеем экстремум в точке М₀(4;4) .

Это будет максимум, так как  А<0 .

 [tex]\bf z(4;4)=4\cdot \sqrt{4}-4^2-4+6\cdot 4=8-16-4+24=12[/tex]

Максимум функции  равен  [tex]\bf z(4;4)=12[/tex]  .