Verified answer

Объяснение:

a)

[tex]\displaystyle\\\int\limits^\infty_{-\infty} {\frac{dx}{x^3+2x+4} } \int\limits^a_b {x} \, dx =\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{dx}{x^2+2x+1+3} } =\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{dx}{(x+1)^2+3} }.\\\\[/tex]

                                          Подстановка

[tex]\displaystyle\\u=v\sqrt{3} \ \ \ \ \ \ du=\sqrt{3}dv}\ \ \ \ \ v=\frac{u}{\sqrt{3} } \ \ \ \ \ \ \Rightarrow .[/tex]

[tex]\displaystyle\\\int\limits {\frac{du}{u^2+3} }.[/tex]

                                            Подстановка

[tex]\displaystyle\\u=v\sqrt{3}\ \ \ \ \ \ du=\sqrt{3} dv\ \ \ \ \ \ \Rightarrow\\\\\int\limits{\frac{\sqrt{3} }{3v^2+3} } \, dv =\frac{\sqrt{3} }{3}\int\limits {\frac{1}{v^2+1} } \, dv =\frac{tgv}{\sqrt{3} }=\frac{tg(\frac{u}{\sqrt{3} } )}{\sqrt{3} } =\frac{tg(\frac{x+1}{\sqrt{3} }) }{\sqrt{3} } . \\\\[/tex]

[tex]\displaystyle\\\frac{tg(\frac{x+1}{\sqrt{3} }) }{\sqrt{3} }\ |^{\infty}_{-\infty} =\frac{\frac{\pi }{2} }{\sqrt{3} }-(-\frac{\frac{\pi }{2} }{\sqrt{3} } )=\frac{\pi }{\sqrt{3} } =\frac{\pi \sqrt{3} }{3} .[/tex]

б)

[tex]\displaystyle\\\int\limits^1_0 {\frac{arcsinx}{y\sqrt{1-x^2} } } \, dx.\\\\[/tex]

                                            Подстановка

  [tex]\displaystyle\\u=arcsinx\ \ \ \ \ \ du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} } \ \ \ \ \Rightarrow\\\\\int udu=\frac{u^2}{2} =\frac{arcsin^2x}{2} .\\\\\frac{arcsin^2x}{2}\ |_0^1=\frac{arcsin^21}{2}-\frac{arcsin^20}{2}=\frac{(\frac{\pi }{2})^2 }{2} -0=\frac{\pi ^2}{4*2} =\frac{\pi ^2}{8}.[/tex]