Verified answer

Ответ:

[tex]x^2-2x+y^2=0\ \ \ \to \ \ \ (x-1)^2+y^2=1[/tex]  - окружность с центром в точке  (1;0) и радиуса R=1 .

В полярных координатах запишем это уравнение, заменив

[tex]x=\rho \, cos\varphi \ ,\ y=\rho \, sin\varphi[/tex]  .

[tex]\rho ^2\, cos^2\varphi -2\rho \, cos\varphi +\rho ^2\, sin^2\varphi =0\ \ ,\ \ \ \rho^2-2\rho \, cos\varphi =0\ \ ,\ \ \rho \, (\rho -2\, cos\varphi )=0\ ,\\\\\rho =2\, cos\varphi[/tex]  

Аналогично ,  [tex]x^2-6x+y^2=0\ \ \to \ \ (x-3)^2+y^2=9[/tex]  - это окружность с

центром в точке (3;0) и радиуса R=3 . В полярных координатах это

уравнение будет иметь вид:  [tex]\rho =6\, cos\varphi[/tex]   .  

y=x  - это прямая, биссектриса 1 и 3 координатных углов ,

[tex]\rho \, sin\varphi =\rho \, cos\varphi \ \ \Rightarrow \ \ \ sin\varphi =cos\varphi \ \ ,\ \ tg\varphi =1\ \ ,\ \ \varphi =\dfrac{\pi }{4}[/tex]  

y=0  - это ось ОХ ,  [tex]\rho \, sin\varphi =0\ \ ,\ \ sin\varphi =0\ \ ,\ \ \varphi =0[/tex]  

Площадь области в полярной системе координат вычисляется по

формуле

 [tex]\displaystyle S=\iint \limits _{D}\, \rho\, d\rho\, d\varphi =\int\limits_0^{\pi /4}\, d\varphi \int\limits_{2\, cos\varphi }^{6\, cos\varphi }\, \rho \, d\rho =\int\limits_0^{\pi /4}\, d\varphi \Big(\ \frac{\rho ^2}{2}\, \Big|_{2\, cos\varphi }^{6\, cos\varphi }\ \Big)=\\\\\\=\frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi /4}\, \Big(36\, cos^2\varphi -4\, cos^2\varphi \Big)\, d\varphi =16\int\limits_0^{\pi /4}\, cos^2\varphi \, d\varphi =8\int\limits_0^{\pi /4}\, (1+cos2\varphi )\, d\varphi =[/tex]

[tex]\displaystyle =8\, \Big(\varphi +\frac{1}{2}sin2\varphi \Big)\Big|_0^{\pi /4}=8\, \Big(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\cdot sin\frac{\pi}{2}\Big)=2\pi +4=2(\pi +2)[/tex]