Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x^½ на отрезке [1;4].

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

[tex]\displaystyle y = x^{\frac{1}{2}}[/tex]

• Воспользуемся одним из свойств степеней: [tex]\displaystyle \tt \sqrt[a]{b^k} = b^{\frac{k}{a}},\,k \in Z,\, a \ne0[/tex]

[tex]\displaystyle \boldsymbol{y = \sqrt{x} }[/tex]

• Функция является возрастающей, область ее определения D(y) = [0;+∞). Т.к. концы включенные, то просто нужно их подставить в нашу формулу.

у(1) = √1 = 1

у(4) = √4 = 2.

Ответ: [tex] \displaystyle \boldsymbol{y_{max}= 2,\, y_{min}= 1}[/tex]

Verified answer

Ответ:

[tex]y_{min} = 1 \\ y_{max} = 2[/tex]

Объяснение:

1 способ(для рассуждения)

[tex]y = x {}^{ \frac{1}{2} } [/tex]

Можно записать как: [tex]y = \sqrt{x} [/tex]

Очевидно , что x∈[0;+∞) , график данной функции постоянно возрастает , а это значит , что если взять любой отрезок из оси Ох , то только при концах этого отрезка функция будет иметь наименьшее и наибольшее значение.

Наш отрезок [1;4] , найдем наименьшее и наибольшее значение функции:

[tex]y(1) = \sqrt{1} = 1 \\ y(4) = \sqrt{4} = 2[/tex]

Следовательно , наименьшее это 1 , а наибольшее это 2

2 способ

Надём производную функции [tex]y = \sqrt{x} [/tex]:

Согласно производной корня : [tex]\bf (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

[tex]\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x}} [/tex]

Найдём нули производной y'(x)=0:

[tex]\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}=0\\x\in \varnothing [/tex]

Нулей производной функция не имеет. Значит , минимальное и максимальное значение функция имеет при концах отрезка , то есть:

[tex]\displaystyle y(1)=\sqrt{1}=1\\ y(4)=\sqrt{4}=2 [/tex]