Verified answer

Ответ:

1.     [tex]\displaystyle \bf \int\limits {(\sqrt[3]{x} -1)(\sqrt{x} -\sqrt[4]{x} )} \, dx=\frac{6}{11}x\sqrt[6]{x^5} -\frac{12}{19} x\sqrt[12]{x^7}-\frac{2}{3}x\sqrt{x} +\frac{4}{5} x\sqrt[4]{x} +C[/tex]

2.     [tex]\displaystyle \bf \int\limits {e^{-(x^2+1)}} x\, dx= -\frac{1}{2} {e^{-(x^2+1)}} +C[/tex]

Объяснение:

Вычислить интеграл:

1.     [tex]\displaystyle \bf \int\limits {(\sqrt[3]{x} -1)(\sqrt{x} -\sqrt[4]{x} )} \, dx[/tex]

2.     [tex]\displaystyle \bf \int\limits {e^{-(x^2+1)}} x\, dx[/tex]

1.     [tex]\displaystyle \bf \int\limits {(\sqrt[3]{x} -1)(\sqrt{x} -\sqrt[4]{x} )} \, dx[/tex]

Упростим подинтегральное выражение:

[tex]\displaystyle (x^{\frac{1}{3} }-1)(x^{\frac{1}{2} }-x^{\frac{1}{4} })=x^{\frac{5}{6} }-x^{\frac{7}{12} } -x^{\frac{1}{2} }+x^{\frac{1}{4} }[/tex]

Теперь можем воспользоваться формулой интеграла степенной функции:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits(x^{\frac{5}{6} }-x^{\frac{7}{12} } -x^{\frac{1}{2} }+x^{\frac{1}{4} })dx=\frac{x^{\frac{11}{6} }\cdot 6}{11} -\frac{x^{\frac{19}{12} }\cdot12}{19} -\frac{x^{\frac{3}{2} }\cdot2}{3} +\frac{x^{\frac{5}{4} }\cdot4}{5} =\\\\\\=\frac{6}{11}x\sqrt[6]{x^5} -\frac{12}{19} x\sqrt[12]{x^7}-\frac{2}{3}x\sqrt{x} +\frac{4}{5} x\sqrt[4]{x} +C[/tex]

2.     [tex]\displaystyle \bf \int\limits {e^{-(x^2+1)}} x\, dx[/tex]

Замена переменной:

[tex]\displaystyle -(x^2 + 1) = t\\\\-2x\;dx =dt\\\\x\;dx=-\frac{1}{2}dt[/tex]

Получим интеграл:

[tex]\displaystyle -\frac{1}{2}\int\limits {e^t} \, dt=-\frac{1}{2}e^t+C=[/tex]

И обратная замена:

[tex]\displaystyle \bf = -\frac{1}{2} {e^{-(x^2+1)}} +C[/tex]