Verified answer

Ответ:

[tex]x\in (-\infty; -6]\cup[4;+\infty).[/tex]

Объяснение:

Решить неравенство

                             [tex]\dfrac{4^{-|x-2|}}{\sqrt{x^2-x-2}+2}\le \dfrac{2^{1-|x|}}{\sqrt{x^2+6x}+4}.[/tex]

Преобразуем: в левой части неравенства сделаем замену x-2=p, в правой части поделим числитель и знаменатель на 2, после чего сделаем замену  [tex]\dfrac{x}{2}=q:[/tex]

        [tex]\dfrac{4^{-|p|}}{\sqrt{p^2+3p}+2}\le\dfrac{2^{-|x|}}{\sqrt{\frac{x^2}{4}+3\cdot\frac{x}{2}}+2};\ \ \dfrac{4^{-|p|}}{\sqrt{p^2+3p}+2}\le\dfrac{2^{-2|q|}}{\sqrt{q^2+3q}+2};[/tex]

                       [tex]4^{|q|}\cdot\left(\sqrt{q^2+3q}+2\right)\le 4^{|p|}\cdot\left(\sqrt{p^2+3p}+2\right).[/tex]

Рассмотрим функцию             [tex]F(t)=4^{|t|}\cdot\left(\sqrt{t^2+3t}+2\right).[/tex]

Наше неравенство записывается в виде

                                          [tex]F(q)\le F(p).[/tex]

Исследуем эту функцию.  [tex]D(F)=(-\infty;-3]\cup [0;+\infty);[/tex] справа от нуля она возрастает как произведение возрастающих положительных функций, слева от минус трех она убывает как произведение убывающих положительных функций. Поэтому если q  и p больше или равны 0,      

                                      [tex]F(q)\le F(p)\Leftrightarrow q\le p;[/tex]

если q и p меньше или равны минус 3,    

                                     [tex]F(q)\le F(p)\Leftrightarrow q\ge p;[/tex]

если они по разные стороны от 0 и минус 3, как решать неравенство - абсолютно неясно. Будем надеяться, что этот случай не реализуется.

1-й случай. [tex]\left \{ {{x-2\ge 0} \atop {\frac{x}{2}}\ge 0} \right.\Leftrightarrow x\ge 2.[/tex] Тогда неравенство [tex]F(\frac{x}{2})\le F(x-2)[/tex] равносильно неравенству     [tex]\dfrac{x}{2}\le x-2;\ x\le 2x-4;\ x\ge 4;[/tex]

[tex]\left \{ {{x\ge2} \atop {x\ge 4}} \right.\Leftrightarrow x\ge 4.[/tex]

2-й случай. [tex]\left \{ {{x-2\le -3} \atop {\frac{x}{2}\le -3}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{x\le -1} \atop {x\le -6}} \right.\Leftrightarrow x\le -6.[/tex] Тогда неравество                           [tex]F(\frac{x}{2})\le F(x-2)[/tex]  равносильно неравенству [tex]\dfrac{x}{2}\ge x-2;\ x\le 4;[/tex]

[tex]\left \{ {{x\le -6} \atop {x\le 4}} \right. \Leftrightarrow x\le -6.[/tex]

3-й случай. [tex]\left \{ {{x-2\ge 0} \atop {\frac{x}{2}}\le -3} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x\ge2} \atop {x\le -6}} \right.\Leftrightarrow x\in \emptyset.[/tex]

4-й случай. [tex]\left \{ {{x-2\le -3} \atop {\frac{x}{2}}\ge 0} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{x\le-1} \atop {x\ge 0}} \right.\Leftrightarrow x\in \emptyset.[/tex]

Окончательный ответ: [tex]x\in (-\infty; -6]\cup[4;+\infty).[/tex]