Ответ:

оба ряда сходятся.

Объяснение:

посмотрите предложенный вариант (вложение); оформление не соблюдалось.

Verified answer

Ответ:

Исследовать  числовые ряды на сходимость .

[tex]\bf 1)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{arctg\, n}{n^2+1}[/tex]   -  знакоположительный числовой ряд .

Применяем достаточный интегральный признак сходимости Коши.  

Составим функцию  [tex]f(x)=\dfrac{arctg\, x}{x^2+1}[/tex]  . Это положительная непрерывная и убывающая функция на  [tex]\boldsymbol[\, 1\, ;+\infty \, )}[/tex] . Вычислим несобственный интеграл

[tex]\bf \displaystyle \int\limits^{\infty }_{1}\, \dfrac{arctg\, x}{x^2+1}\, dx=\lim\limits _{A \to +\infty}\, \int\limits^{A}_{1}\, \dfrac{arctg\, x}{x^2+1}\, dx=\lim\limits _{A \to +\infty}\, \dfrac{arctg^2\, x}{2}\, \Big|_{1}^{A}=\\\\\\=\dfrac{arctg^2\, A}{2}-\dfrac{arctg^2\, 1}{2}=\frac{\Big(\dfrac{\pi }{2}\Big)^2}{2}-\dfrac{\Big(\dfrac{\pi }{4}\Big)^2}{2}=\dfrac{\pi ^2}{8}-\dfrac{\pi ^2}{32}=\dfrac{3\pi ^2}{32}\approx 0,92[/tex]  

Так как несобственный интеграл равен const , то он сходится , а вместе с ним сходится и заданный ряд .

[tex]\bf 2)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{n^{10}}{(n+1)!}[/tex]  -  знакоположительный числовой ряд .

Применим к этому ряду достаточный признак сходимости Даламбера .

Вычислим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему.

[tex]\bf \displaystyle \lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{(n+1)^{10}}{(n+2)!}:\frac{n^{10}}{(n+1)!}=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{(n+1)^{10}}{(n+2)!}\cdot \frac{(n+1)!}{n^{10}}=\\\\\\=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{(n+1)^{10}}{(n+1)!(n+2)}\cdot \frac{(n+1)!}{n^{10}}=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \underbrace{\bf \dfrac{(n+1)^{10}}{n^{10}}}_{\to \, 1}\cdot \frac{1}{n+2}=\\\\\\=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{1}{n+2}}=0 < 1[/tex]  

Так как предел равен числу, меньшему 1 , то ряд заданный сходится .