Verified answer

Ответ:

слишком длинный, чтобы переписывать его сюда.

Объяснение:

Пусть искомая кривая задана уравнением y=y(x), и точка [tex]A(x_0;y_0)[/tex] лежит на этой кривой. Как известно, угловой коэффициент касательной равен [tex]y'(x_0),[/tex] поэтому угловой коэффициент нормали равен [tex]-\dfrac{1}{y'(x_0)}.[/tex]

Отсюда уравнение нормали имеет вид

                                   [tex]y-y_0=-\dfrac{1}{y'(x_0)}(x-x_0).[/tex]

Чтобы узнать, где нормаль пересекает ось OY, нужно подставить x=0:

                        [tex]y-y_0=-\dfrac{1}{y'(x_0)}(-x_0);\ y=y_0+\dfrac{x_0}{y'(x_0)}.[/tex]

Для нахождения длины требуемого отрезка нормали найдем расстояние между концами [tex]A(x_0;y_0)[/tex] и   [tex]B\left(0;y_0+\dfrac{x_0}{y'(x_0)}\right)[/tex]  этого отрезка:

        [tex]|AB|=\sqrt{(0-x_0)^2+\left(y_0+\dfrac{x_0}{y'(x_0)}-y_0\right)^2}=\sqrt{x_0^2+\dfrac{x_0^2}{(y'(x_0))^2}}.[/tex]

Расстояние же от начала координат O(0;0) до точки A равно

                                     [tex]|OA|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}.[/tex]  

Остается приравнять эти расстояния:

  [tex]|OA|=|AB|;\ |OA|^2=|AB|^2;\ x_0^2+y_0^2=x_0^2+\left(\dfrac{x_0}{y'(x_0)}\right)^2;\ y_0^2=\left(\dfrac{x_0}{y'(x_0)}\right)^2;[/tex]

                             [tex]y_0=\pm\dfrac{x_0}{y'(x_0)};\ y_0\cdot y'(x_0)=\pm x_0.[/tex]

Заметим, что [tex](x_0;y_0) -[/tex] это была произвольная точка кривой, поэтому естественно окончательное дифференциальное уравнение записать, опуская индекс:

                                                 [tex]yy'=\pm x.[/tex]

Точнее, здесь два дифференциальных уравнения -

                                         [tex]yy'=x[/tex] и  [tex]yy'=-x.[/tex]

Решаем сначала первое уравнение:

                        [tex]2yy'=2x;\ (y^2)'=2x;\ y^2=x^2+C.[/tex]  

При C=0 получаем y=±x - это биссектрисы координатных углов.

При C>0 получаем гиперболу с асимптотами y=±x, действительной осью которой является ось OY.

При C<0 получаем гиперболу с асимптотами y=±x, действительной осью которой является ось OX.

Переходим ко второму уравнению:

              [tex]2yy'=-2x;\ (y^2)'=-2x;\ y^2=-x^2+C;\ x^2+y^2=C.[/tex]

Ясно, что здесь нас устраивают только значения C>0, при этом мы получаем окружности с центром в начале координат и радиусом  [tex]\sqrt{C}.[/tex]

Замечание. То, что для окружностей выполнено условие задачи, очевидно, как и для биссектрис координатных углов. Для гипербол это не так очевидно.