Ответ:

Объяснение: 2x+4y-z-3=0.

[tex]z=x^2+2y^2\ \ \ \ \ A(1,\ 1,\ ?)\\\\z(A)=1^2+2*1^2=1+2=3.\ \ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ A(1,\ 1,\,3).\\\\z'_x=(x^2+2y^2)'_x=2*x=2x\\\\ z'_x(x_0)=2*1=2.\\\\z'_y=(x^2+2y^2)'_y=2*2y=4y.\\\\z'_y(y_0)=4*1=4.[/tex]

            Уравнение касательной плоскости

[tex]\boxed {z'_x(x_0)*(x-x_0)+z'_y(y_0)*(y-y_0)-1*(z-z_0)=0}\\\\2*(x-1)+4*(y-1)-1*(z-3)=0\\\\2x-2+4y-4-z+3=0\\\\2x+4y-z-3=0.[/tex]          

Verified answer

Ответ:

Касательная плоскость к поверхности в точке М₀ – это плоскость,  содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку М₀ .

Уравнение касательной плоскости к поверхности  z=f(x,y) имеет вид

[tex]\bf f'_{x}(x_0;y_0)\cdot (x-x_0)+f'_{y}(x_0;y_0)\cdot (y-y_0)-1\cdot (z-z_0)=0[/tex]  

 [tex]\bf z=x^2+2y^2\ \ ,\ \ A(1;1;?)\\\\z(1;1)=1^2+2\cdot 1^2=1+2=3\ \ \ \Rightarrow \ \ \ A(1;1;3)\\\\z'_{x}=2x\ \ ,\ \ \ z'_{x}(A)=2\cdot 1=2\\\\z'_{y}=4y\ \ ,\ \ \ z'_{y}(A)=4\cdot 1=4[/tex]  

Уравнение касательной имеет вид :

[tex]\bf 2\cdot (x-1)+4\cdot (y-1)-1\cdot (z-3)=0\\\\\boxed{\ \bf 2x+4y-z-3=0\ }[/tex]