Verified answer

Ответ:

   [tex]\bf u=x^2+y^2+z^2\ \ ,\ \ M(1;1;1)\ \ ,\ \ \overline{s}=(cos45^\circ ;cos60^\circ ;cos60^\circ )[/tex]  

a)  градиент функции  u  и точке  М - это вектор, координатами которого являются частные производные 1-го порядка в точке  М .  

[tex]\bf u'_{x}=2x\ \ ,\ \ u'_{y}=2y\ \ ,\ \ u'_{z}=2z\\\\u'_{x}(M)=\dfrac{\partial u}{\partial x}\Big|_{M}=2\cdot 1=2\ \ ,\ \ u'_{y}(M)=\dfrac{\partial u}{\partial y}\Big|_{M}=2\cdot 1=2\ \ ,\\\\\\u'_{z}(M)=\dfrac{\partial u}{\partial z}\Big|_{M}=2\cdot 1=2\\\\\\\overline{grad\, u(M)}=2\overline{i}+2\overline{j}+2\overline{k}[/tex]    

Градиент указывает направление наибыстрейшего возрастания данной функции в данной точке.

b)  производная функции  u  в точке М по направлению вектора  [tex]\bf \overline{s}[/tex]  :

[tex]\bf \dfrac{\partial u}{\partial \overline{s}}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\Big|_{M}\cdot cos\alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y}\Big|_{M}\cdot cos\beta +\dfrac{\partial u}{\partial z}\Big|_{M}\cdot cos\gamma[/tex]   , где  [tex]\bf cos\alpha \ ,\ cos\beta \ ,\ cos\gamma[/tex]  

- направляющие косинусы вектора [tex]\bf \overline{s}[/tex] .

[tex]\bf cos45^\circ =x=\dfrac{\sqrt2}{2}\ ,\ \ cos60^\circ =y=z=\dfrac{1}{2}\\\\\overline{s}=\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}\, ;\, \dfrac{1}{2}\, ;\, \dfrac{1}{2}\Big)\ \ ,\ \ |\, \overline{s}\, |=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1\ \ \ \Rightarrow \\\\\\cos\alpha =\dfrac{x}{|\, \overline{s}\, |}=\dfrac{\sqrt2}{2}\ ,\ cos\beta =\dfrac{y}{|\, \overline{s}\, |}=\dfrac{1}{2}\ ,\ cos\gamma =\dfrac{z}{|\, \overline{s}\, |}=\dfrac{1}{2}[/tex]        

[tex]\bf \dfrac{\partial u}{\partial \overline{s}}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\Big|_{M}\cdot cos\alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y}\Big|_{M}\cdot cos\beta +\dfrac{\partial u}{\partial z}\Big|_{M}\cdot cos\gamma =2\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}+2\cdot \dfrac{1}{2}+2\cdot \dfrac{1}{2}=2+\sqrt2 > 0[/tex]

Так как получили производную в точке М по направлению вектора s большую 0, то в этом направлении функция возрастает .