найдем скалярное произведение и модули векторов, а затем косинус угла между ними.
1*1-2*(-3)-1*1=6
√(1²+(-2)²+1²)=√6
√(1²+(-3)²+1²)=√11
cosφ=6/(√6*√11)=√(6/11)≈073854895; φ≈42°
расстояние между прямыми:
возьмем по точке на прямых, например, при t=0, на первой прямой
М₁(2;1;-1), а на второй М₂(1;3;0) координаты вектора →М₁М₂(-1;2;1)
найдем смешанное произведение векторов →М₁М₂; {1;-2;-1}; {1;-3;1}
-121
1-2-1
1-31
видим. что первые две строки определителя пропорциональны, т.е. смешанное произведение равно нулю. векторы компланарны. и расстояние между прямыми равно нулю.
Прямые не параллельны, так как координаты их направляющих векторов не пропорциональны .
Ищем расстояние между скрещивающимися прямыми как частное от деления модуля смешанного произведения направляющих векторов и вектора М₁М₂ на модуль векторного произведения направляющих векторов:
Получили, что смешанное произведение трёх векторов равно 0, значит прямые компланарны . Вычислять модуль векторного произведения, записанного в знаменателе, не имеет смысла. Расстояние между прямыми равно 0.
Косинус угла между прямыми находится по формуле [tex]cos\alpha =\dfrac{\vec{s}_1\cdot \vec{s}_1}{|\vec{s}_1|\cdot |\vec{s}_2|}[/tex] .
Answers & Comments
направляющий вектор первой прямой {1;-2;-1}
вторую прямую перепишем
(х-1)/1= t ⇒х= t+1
(у-3)/(-3)= t ⇒у=-3 t+3
z/1= t⇒z= t
направляющий вектор {1;-3;1}
найдем скалярное произведение и модули векторов, а затем косинус угла между ними.
1*1-2*(-3)-1*1=6
√(1²+(-2)²+1²)=√6
√(1²+(-3)²+1²)=√11
cosφ=6/(√6*√11)=√(6/11)≈073854895; φ≈42°
расстояние между прямыми:
возьмем по точке на прямых, например, при t=0, на первой прямой
М₁(2;1;-1), а на второй М₂(1;3;0) координаты вектора →М₁М₂(-1;2;1)
найдем смешанное произведение векторов →М₁М₂; {1;-2;-1}; {1;-3;1}
-121
1-2-1
1-31
видим. что первые две строки определителя пропорциональны, т.е. смешанное произведение равно нулю. векторы компланарны. и расстояние между прямыми равно нулю.
Ответ 42°; 0
Ответ:
[tex]l:\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\y=-2t+1\\z=-t-1\end{array}\right\ \ ,\ \ \vec{s}_{1}=(1;-2;-1)\ ,\ M_1(2;1;-1)\ ,\\\\\\m:\ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z}{1}\ \ ,\ \ \vec{s_2}=(1;-3;1)\ \ ,\ \ M_2(1;3;0)[/tex]
Прямые не параллельны, так как координаты их направляющих векторов не пропорциональны .
Ищем расстояние между скрещивающимися прямыми как частное от деления модуля смешанного произведения направляющих векторов и вектора М₁М₂ на модуль векторного произведения направляющих векторов:
[tex]d=\dfrac{|\, (\vec{s}_1,\vec{s}_2,\overline{M_1M_2})\, |}{|\, [\vec{s}_1\times \vec{s}_2]\, |}\\\\\\ (\vec{s}_1,\vec{s}_2,\overline{M_1M_2})=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&-3&1\\1-2&3-1&0+1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&-3&1\\-1&2&1\end{array}\right|=[/tex]
[tex]=1(-3-2)+2(1+1)-(2-3)=-5+4+1=0[/tex]
Получили, что смешанное произведение трёх векторов равно 0, значит прямые компланарны . Вычислять модуль векторного произведения, записанного в знаменателе, не имеет смысла. Расстояние между прямыми равно 0.
Косинус угла между прямыми находится по формуле [tex]cos\alpha =\dfrac{\vec{s}_1\cdot \vec{s}_1}{|\vec{s}_1|\cdot |\vec{s}_2|}[/tex] .
[tex]cos\alpha =\dfrac{1\cdot 1-2\cdot (-3)-1\cdot 1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{1^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{11}}=\sqrt{\dfrac{6}{11}}\approx 0,7385[/tex]
Угол можно найти приближённо [tex]\alpha \approx 42,4^\circ[/tex] .