Найдите значение функции. Created by eleonaise. matematika-ru

Ответ:1) Находим стационарные точки.2) Исследуем границу области.Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследуем три прямые, являющиеся границами этого треугольника .Теперь вычислим значения функции на концах отрезка .Вычислим значения функции на концах отрезка .Вычислять значения на концах отрезка, в точках М₃ и М₅ не обязательно, так как они уже исследованы выше .Теперь выбираем наибольшее и наименьшее значения функции, полученные при вычислениях выше. Они обведены квадратиками .Наименьшее значение .Наибольшее значение .

Найдите значение функции...

NNNLLL54

Verified answer

Ответ:

$z=x^2+y^2-xy-x-y\ \ ,\ \ D:\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\ ,\ y\geq 0\ ,\\x+y\leq 3\end{array}\right$

1) Находим стационарные точки.

$z'_{x}=2x-y-1=0\ \ ,\qquad y=2x-1\\\\z'_{y}=2y-x-1=0\ \ ,\qquad 2(2x-1)-x-1=0\ \ ,\ \ 3x=3\ \ ,\ \ x=1\\\\y=2\cdot 1-1=1\ \ \Rightarrow \ \ \ \underline{M_0(\ 1\ ;\ 1\ )}\in D\ -\ stacionarnaya\ tochka\\\\z(M_0)=z(1;1)=1+1-1-1-1=\boxed{-1\ }$

2) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследуем три прямые, являющиеся границами этого треугольника .

$a)\ \ y=0\ ,\ 0\leq x\leq 3\ ,\\\\z(x)=x^2-x\ \ ,\ \ \ z'=2x-1=0\ \ ,\ \ x=0,5\in [\ 0\ ;\ 3\ ]\ \ ,\\\\\underline{M_1(0,5\ ;\ 0\ )\ }\\\\z(M_1)=z(\, 0,5\, ;\, 0\, )=0,25-0,5=\boxed{-0,25\ }$

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка .

$z(M_2)=z(0;0)=\boxed{\ 0\ }\\\\z(M_3)=z(3;0)=9-3=\boxed{6\ }\\\\b)\ \ x=0\ \ ,\ 0\leq y\leq 3\ \ ,\\\\z(y)=y^2-y\ \ ,\ \ 2y-1=0\ \ ,\ \ y=0,5\in [\, 0\, ;\, 3\, ]\\\\\underline{M_4(\, 0\, ;\, 0,5\, )}\\\\z(M_4)=z(\, 0;\, 0,5\, )=0,25-0,5=\boxed{-0,25\ }$

Вычислим значения функции на концах отрезка .

$z(M_2)=z(0;0)=\boxed{\ 0\ }\\\\z(M_5)=z(0;3)=9-3=\boxed{\ 6\ }\\\\c)\ \ x+y=3\ \ ,\ \ y=3-x\ \ \Rightarrow \\\\z=x^2+(3-x)^2-x\, (3-x)-x-(3-x)=x^2+9-6x+x^2-3x+x^2-x-3+x=\\\\=3x^2-9x+6=3\, (x^2-3x+2)\\\\z'=3\, (2x-3)=0\ \ ,\ \ x=1,5\\\\y=3-1,5=1,5\ \ \Rightarrow \ \ \ \underline{M_6(\, 1,5\ ;\ 1,5\, )}\\\\z(M_6)=z(\, 1,5\ ;\ 1,5\, )=2,25+2,25-2,25-1,5-1,5=\boxed{-0,75\ }$

Вычислять значения на концах отрезка, в точках М₃ и М₅ не обязательно, так как они уже исследованы выше .

Теперь выбираем наибольшее и наименьшее значения функции, полученные при вычислениях выше. Они обведены квадратиками .

Наименьшее значение $z(\, 1\ ;\ 1\, )=-1$ .

Наибольшее значение $z(\, 0\, ;\, 3\, )=z(\, 3\, ;\, 0\, )=6$ .

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

4 6470474c3142e

3 646acc0a7161c

5 6468d6d4da2b8

2 64592637c7034

7 64541a8cbe8a2

6 6453dbe1cdb88

1 6444a9b711208

716947dd6de0ae955ff8c66cd10f88e8

4 63c7727aaff37

2 63c577000f1cf

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social