РЕШИТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАДАННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ОПЕ...

ProfessorXY @ProfessorXY

October 2021 1 11 Report

РЕШИТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАДАННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРОВ

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$x'''-x''=\sin t$

Выполним преобразования Лапласа:

$x(t)\rightarrow X(p)$

$x'(t)\rightarrow pX(p)-x(0)=pX(p)$

$x''(t)\rightarrow p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)$

$x'''(t)\rightarrow p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x''(0)=p^3X(p)$

$\sin t\rightarrow\dfrac{1}{p^2+1}$

Получим уравнение:

$p^3X(p)-p^2X(p)=\dfrac{1}{p^2+1}$

$p^2(p-1)X(p)=\dfrac{1}{p^2+1}$

$X(p)=\dfrac{1}{p^2(p-1)(p^2+1)}$

Разложим дробь, стоящую в правой части на составляющие:

$\dfrac{1}{p^2(p-1)(p^2+1)}=\dfrac{Ap+B}{p^2} +\dfrac{C}{p-1}+\dfrac{Dp+E}{p^2+1}$

$1=(Ap+B)(p-1)(p^2+1) +Cp^2(p^2+1)+(Dp+E)p^2(p-1)$

$1=(Ap+B)(p^3-p^2+p-1) +Cp^2(p^2+1)+(Dp+E)(p^3-p^2)$

$1=\\=Ap^4-Ap^3+Ap^2-Ap+Bp^3-Bp^2+Bp-B+Cp^4+Cp^2+Dp^4-Dp^3+Ep^3-Ep^2$

$1=(A+C+D)p^4+(-A+B-D+E)p^3+(A-B+C-E)p^2+(-A+B)p-B$

Условие равенства двух многочленов:

$\begin{cases} A+C+D=0\\-A+B-D+E=0\\A-B+C-E=0\\-A+B=0\\-B=1\end{cases}$

$\Rightarrow\boxed{B=-1}$

$\begin{cases} A+C+D=0\\-A-1-D+E=0\\A+1+C-E=0\\-A-1=0\end{cases}$

$\Rightarrow\boxed{A=-1}$

$\begin{cases} -1+C+D=0\\1-1-D+E=0\\-1+1+C-E=0\end{cases}$

$\begin{cases} C+D=1\\D=E\\C=E\end{cases}$

Заметим, что $C=D=E$ . Подставляем в первое уравнение два других:

$E+E=1$

$2E=1\Rightarrow \boxed{E=\dfrac{1}{2} }$

$C=E\Rightarrow \boxed{C=\dfrac{1}{2} }$

$D=E\Rightarrow \boxed{D=\dfrac{1}{2} }$

Итак, дробь раскладывается на составляющие:

$X(P)=\dfrac{-p-1}{p^2} +\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{p-1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{p+1}{p^2+1}$

$X(P)=-\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p^2} +\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{p-1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{p}{p^2+1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{p^2+1}$

Обратные преобразования Лапласа:

$X(p)\rightarrow x(t)$

$\dfrac{1}{p}\rightarrow1$

$\dfrac{1}{p^2}\rightarrow t$

$\dfrac{1}{p-1}\rightarrow e^t$

$\dfrac{p}{p^2+1}\rightarrow\cos t$

$\dfrac{1}{p^2+1}\rightarrow\sin t$

Получим искомую функцию:

$x(t)=-1-t+\dfrac{1}{2}e^t+\dfrac{1}{2}\cos t+\dfrac{1}{2}\sin t$

2 votes Thanks 1

ProfessorXY Спасибо

More Questions From This User See All

ProfessorXY August 2022 | 0 Ответы

proshu reshit vse zadaniya151ab66a60fe2e95e19f7fb3236eb78d 96324

ProfessorXY August 2022 | 0 Ответы

reshit priblizhenno zadachu koshi metodom runge kutta

ProfessorXY August 2022 | 0 Ответы

pervyj kurs lin algebra

ProfessorXY July 2022 | 0 Ответы

reshenie sistem linejnyh neodnorodnyh differencialnyh uravnenij s postoyannymi ko

ProfessorXY July 2022 | 0 Ответы

reshit sistemu differencialnyh uravnenij dvumya sposobami 1metodom isklyucheniya

ProfessorXY July 2022 | 0 Ответы

reshite sleduyushee linejnoe neodnorodnoe differencialnoe uravnenie vysshih poryadko

ProfessorXY July 2022 | 0 Ответы

tex]...

ProfessorXY July 2022 | 0 Ответы

reshite zadachu koshi dlya zadannoj avtonomnoj sistemy differencialnyh uravnenij

ProfessorXY November 2021 | 0 Ответы

prodolzhenie prodolzheniya

ProfessorXY November 2021 | 0 Ответы

prodolzhenie zadanij

рекомендуемые вопросы

rarrrrrrrr August 2022 | 0 Ответы

o chem dolzhny pozabotitsya v pervuyu ochered vzroslye pri organizacionnom vyvoze n

danilarsentev August 2022 | 0 Ответы

est dva stanka na kotoryh vypuskayut odinakovye zapchasti odin proizvodit a zapcha

myachina8 August 2022 | 0 Ответы

najti po grafiku otnoshenie v3v1 v otvetah napisano 9 no nuzhno reshenie

ydpmn7cn6w August 2022 | 0 Ответы

Choose the correct preposition: 1.I am fond (out,of,from) literature. 2.where ar...

millermilena658 August 2022 | 0 Ответы

opredelite kak sozdavalas i kto sozdaval arabskoe gosudarstvo v kracii

MrZooM222 August 2022 | 0 Ответы

ch ajtmanov v rasskaze krasnoe yabloko ispolzuet metod rasskaz v rasskaze opi

timobila47 August 2022 | 0 Ответы

kakovo bylo naznachenie kazhdoj iz chastej vizantijskogo hrama pomogite pozhalujsta

ivanyyaremkiv August 2022 | 0 Ответы

pozhalujsta8b98a56c0152a07b8f4cbcd89aa2f01e 97513

sarvinozwakirjanova August 2022 | 0 Ответы

pomogite pozhalusto pzha519d7eb8246a08ab0df06cc59e9dedb 6631

Helpful Links

Политика конфиденциальности

Правила и условия

Контакты

Helpful Social

Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.